О задании 25

Общая информация

Задание 25 ЕГЭ по физике -- задача высокого уровня сложности, оценивается в 3 балла.

Тематика: геометрическая оптика (линзы, зеркала, преломление), волновая оптика (дифракционная решётка).

Средняя решаемость: 14,3%
Решаемость для задач по оптике: ~34%

Критерии оценивания

Баллы	Критерий
3	Полное правильное решение с обоснованием и верным ответом
2	Верно записаны все необходимые формулы, но допущена ошибка в вычислениях или преобразованиях
1	Записаны только исходные формулы ИЛИ правильный рисунок с ходом лучей
0	Решение не соответствует ни одному из критериев выше

ВАЖНО: Рисунок = 1 балл!

Даже если вы не можете решить задачу аналитически, правильный рисунок с построением хода лучей через линзу гарантирует 1 балл.

Всегда начинайте с рисунка! Это и помогает в решении, и обеспечивает минимальный балл.

Законы отражения и преломления

Закон отражения

Угол падения равен углу отражения. Падающий луч, отражённый луч и нормаль к поверхности лежат в одной плоскости.

\(\alpha = \beta\)

где \(\alpha\) -- угол падения, \(\beta\) -- угол отражения (оба отсчитываются от нормали).

Закон Снеллиуса (закон преломления)

\(n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta\)

где \(n_1, n_2\) -- абсолютные показатели преломления сред, \(\alpha\) -- угол падения, \(\beta\) -- угол преломления.

Абсолютный показатель преломления

\(n = \frac{c}{v}\)

где \(c\) -- скорость света в вакууме, \(v\) -- скорость света в среде.

При переходе из одной среды в другую

Частота не меняется: \(\nu = \text{const}\)
Скорость в среде: \(v = \frac{c}{n}\)
Длина волны в среде: \(\lambda_{\text{среды}} = \frac{\lambda_{\text{вак}}}{n}\)

Запомните: при переходе в более плотную среду (\(n\) больше) скорость и длина волны уменьшаются, частота остаётся прежней.

Линзы и формула тонкой линзы

Формула тонкой линзы

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\)

где:

\(F\) -- фокусное расстояние линзы
\(d\) -- расстояние от предмета до линзы
\(f\) -- расстояние от линзы до изображения

Оптическая сила

\(D = \frac{1}{F} \quad [\text{дптр}]\)

Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). 1 дптр = 1/м.

Увеличение линзы

\(\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\)

где \(H\) -- размер изображения, \(h\) -- размер предмета.

Правило знаков (КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО!)

Правильное применение знаков -- ключ к решению задач на линзы:

Величина	Знак	Смысл
\(d > 0\)	+	Действительный предмет (слева от линзы)
\(f > 0\)	+	Действительное изображение (справа от линзы)
\(f < 0\)	-	Мнимое изображение (слева от линзы, по ту же сторону, что и предмет)
\(F > 0\)	+	Собирающая линза
\(F < 0\)	-	Рассеивающая линза

Для мнимого изображения:

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|}\)

Эта формула получается подстановкой \(f < 0\) в основную формулу линзы.

Таблица изображений в собирающей линзе

Положение предмета	Характеристика изображения
\(d > 2F\)	Действительное, перевёрнутое, уменьшенное
\(d = 2F\)	Действительное, перевёрнутое, равное по размеру
\(F < d < 2F\)	Действительное, перевёрнутое, увеличенное
\(d = F\)	Изображение на бесконечности (в \(\infty\))
\(d < F\)	Мнимое, прямое, увеличенное

Рассеивающая линза всегда даёт мнимое, прямое, уменьшенное изображение.

Построение изображений в линзах

Три стандартных луча

Для построения изображения точки в линзе достаточно провести два из трёх стандартных лучей (но на экзамене лучше провести все три для надёжности):

1

Луч, параллельный главной оптической оси. После преломления проходит через задний фокус (собирающая линза) или его продолжение идёт из переднего фокуса (рассеивающая линза).

2

Луч, проходящий через оптический центр линзы. Проходит без преломления (не меняет направления).

3

Луч, проходящий через передний фокус (или направленный на передний фокус для рассеивающей линзы). После преломления идёт параллельно главной оптической оси.

Собирающая линза: построение

Предмет за двойным фокусом (\(d > 2F\)): Проведите луч 1 (параллельно оси -- через задний фокус) и луч 2 (через центр -- без отклонения). Точка пересечения этих лучей за линзой -- действительное, уменьшенное, перевёрнутое изображение.

Предмет между фокусом и линзой (\(d < F\)): Лучи после преломления расходятся. Продлите их назад (пунктиром) -- они пересекутся по ту же сторону, что и предмет. Это мнимое, увеличенное, прямое изображение (принцип работы лупы).

Рассеивающая линза: построение

Луч, параллельный оси, после рассеивающей линзы отклоняется от оси так, что его продолжение проходит через передний фокус. Луч через центр не отклоняется.

Изображение всегда мнимое, прямое и уменьшенное. Оно находится между фокусом и линзой по ту же сторону, что и предмет.

Совет для экзамена

Рисунок нужно делать аккуратно: обозначьте линзу (вертикальная линия с стрелками), отметьте фокусы \(F\) и \(2F\), покажите предмет стрелкой. Проведите минимум 2 луча и покажите изображение. Это даёт 1 балл даже без формул!

Интерактивный симулятор тонкой линзы

Перетаскивайте предмет (оранжевая стрелка) влево и вправо, чтобы увидеть, как меняется изображение. Три характерных луча строятся автоматически.

Фокусное расстояние F: 120 px Рассеивающая линза

Дифракционная решётка

Основная формула

\(d \cdot \sin\varphi = m\lambda\)

где:

\(d\) -- период решётки (расстояние между соседними щелями)
\(\varphi\) -- угол дифракции
\(m\) -- порядок максимума (\(m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\))
\(\lambda\) -- длина волны

Для малых углов

\(\sin\varphi \approx \tan\varphi = \frac{x}{L}\)

где \(x\) -- расстояние от центрального максимума до максимума \(m\)-го порядка на экране, \(L\) -- расстояние от решётки до экрана.

Тогда: \(d \cdot \frac{x}{L} = m\lambda\), откуда \(x = \frac{m\lambda L}{d}\).

Ширина спектра

\(\Delta x = \frac{L}{d}(\lambda_{\text{кр}} - \lambda_{\text{ф}})\)

Ширина спектра первого порядка определяется разностью положений красного и фиолетового максимумов. Для \(m\)-го порядка: \(\Delta x_m = \frac{mL}{d}(\lambda_{\text{кр}} - \lambda_{\text{ф}})\).

Полное внутреннее отражение

Предельный угол полного внутреннего отражения

\(\sin\alpha_{\text{пр}} = \frac{n_2}{n_1} \quad (n_1 > n_2)\)

Полное внутреннее отражение возникает при переходе света из более плотной среды в менее плотную (из среды с большим \(n\) в среду с меньшим \(n\)).

При углах падения \(\alpha > \alpha_{\text{пр}}\) свет полностью отражается и не проходит во вторую среду.

Классическая задача: светлый круг на поверхности воды

Точечный источник на глубине \(h\) под водой с показателем преломления \(n\). Свет выходит из воды в пределах конуса с предельным углом. На поверхности образуется светлый круг радиуса:

\(r = \frac{h}{\sqrt{n^2 - 1}}\)

Вывод: Из закона преломления на границе вода--воздух при предельном угле: \(\sin\alpha_{\text{пр}} = \frac{1}{n}\). Тогда \(\tan\alpha_{\text{пр}} = \frac{r}{h}\), и \(\tan\alpha_{\text{пр}} = \frac{\sin\alpha_{\text{пр}}}{\cos\alpha_{\text{пр}}} = \frac{1/n}{\sqrt{1 - 1/n^2}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}\).

Системы линз

Линзы, расположенные вплотную

\(D = D_1 + D_2\)

Оптические силы складываются. Эквивалентное фокусное расстояние: \(\frac{1}{F} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2}\).

Линзы на расстоянии \(L\) друг от друга

Алгоритм решения:

Найти изображение предмета в первой линзе, используя формулу тонкой линзы: \(\frac{1}{F_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1}\).
Изображение первой линзы становится предметом для второй линзы.
Расстояние от этого "предмета" до второй линзы: \(d_2 = L - f_1\).
Если \(d_2 > 0\) -- предмет действительный (перед второй линзой). Если \(d_2 < 0\) -- предмет мнимый (за второй линзой).
Найти изображение во второй линзе: \(\frac{1}{F_2} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2}\).

Пример пошагового решения

Собирающая линза \(F_1 = 20\) см и рассеивающая \(F_2 = -10\) см на расстоянии \(L = 30\) см. Предмет на \(d_1 = 30\) см от первой линзы.

Шаг 1: Изображение в первой линзе: \(\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d_1} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{1}{60}\), \(f_1 = 60\) см.

Шаг 2: Расстояние до второй линзы: \(d_2 = L - f_1 = 30 - 60 = -30\) см. Значит, изображение первой линзы оказалось за второй -- мнимый предмет.

Шаг 3: Изображение во второй: \(\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{-30} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}\), \(f_2 = -15\) см.

Алгоритм решения оптических задач

Пошаговый алгоритм

Следуйте этим шагам при решении любой задачи на линзы

1

Определить тип задачи

Тип линзы (собирающая/рассеивающая), положение предмета относительно фокусов

↓

2

Нарисовать рисунок

Минимум 2 луча! Это даёт 1 балл даже без формул

↓

3

Записать формулу линзы

1/F = 1/d + 1/f с правильными знаками!

↓

4

Подставить данные

Учесть правило знаков, перевести единицы

↓

5

Записать ответ

С единицами измерения, проверить знак ответа

Типичные ошибки

Самые частые ошибки на экзамене

1. Неправильные знаки при мнимом изображении

Это главная ошибка. Только 16% учеников справляются с задачами на мнимое изображение.

Если предмет ближе фокуса собирающей линзы (\(d < F\)), изображение мнимое (\(f < 0\)).

Формула принимает вид: \(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|}\)

Неверно: подставлять \(|f|\) в стандартную формулу как положительное

Верно: использовать \(f < 0\) и записать \(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\), где \(f\) отрицательное

2. Путаница \(d\) и \(f\)

\(d\) -- всегда расстояние от предмета до линзы.

\(f\) -- всегда расстояние от линзы до изображения.

Подсказка: d -- "до" (до линзы от предмета), f -- "фокус/финал" (итоговое изображение).

3. Дифракционная решётка: ширина спектра

Ширина спектра -- это разность положений максимумов, а не положение одного из них.

Неверно: \(\Delta x = \frac{mL\lambda_{\text{кр}}}{d}\)

Верно: \(\Delta x = \frac{mL}{d}(\lambda_{\text{кр}} - \lambda_{\text{ф}})\)

4. Неверное построение лучей для рассеивающей линзы

Для рассеивающей линзы фокус мнимый. Луч, параллельный оси, отклоняется от оси, и его продолжение проходит через фокус.

Изображение всегда мнимое, уменьшенное и прямое.

5. Нет единиц измерения в ответе

Ответ без единиц измерения может привести к потере балла. Всегда указывайте: см, м, дптр и т.д.

Также следите за согласованностью единиц: если \(F\) в метрах, то \(d\) и \(f\) тоже должны быть в метрах.

Банк заданий

Решено: 0 / 10

Задача 1 Демо 2026

▼

Квадратный предмет со стороной \(a = 20\) см расположен перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой \(D = 2\) дптр. Расстояние от предмета до линзы \(d_1 = 90\) см. Найдите площадь изображения (в см\(^2\)).

Шаг 1: \(F = 1/D = 1/2 = 0{,}5\) м \(= 50\) см.

Шаг 2: \(\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{1}{50} - \frac{1}{90} = \frac{9 - 5}{450} = \frac{4}{450}\), \(f = 112{,}5\) см.

Шаг 3: Увеличение: \(\Gamma = f/d = 112{,}5 / 90 = 1{,}25\).

Шаг 4: Сторона изображения: \(a' = a \cdot \Gamma = 20 \cdot 1{,}25 = 25\) см.

Шаг 5: Но это одна сторона квадрата. Для второй стороны расстояние до линзы другое! Вторая сторона: \(d_2 = d_1 + a = 90 + 20 = 110\) см.

Шаг 6: \(\frac{1}{f_2} = \frac{1}{50} - \frac{1}{110} = \frac{11 - 5}{550} = \frac{6}{550}\), \(f_2 = 550/6 \approx 91{,}7\) см.

Шаг 7: \(\Gamma_2 = f_2/d_2 = 91{,}7/110 \approx 0{,}833\). Сторона: \(a_2' = 20 \cdot 0{,}833 \approx 16{,}7\) см.

Шаг 8: Но площадь -- это не просто произведение сторон изображения квадрата. Глубина изображения: \(\Delta f = f_1 - f_2 = 112{,}5 - 91{,}7 = 20{,}8\) см. Однако задача спрашивает площадь проекции, а стороны квадрата перпендикулярны оси. Одна поперечная сторона имеет размер \(a' = a \cdot f/d\). Для расчёта площади плоского изображения: \(S \approx a'_1 \times a'_2 \approx 25 \times 16{,}7 \approx 417\) см\(^2\). Однако точный подход даёт: размер поперечной стороны \(= a \cdot \Gamma = 25\) см (для ближнего края) и стороны по оси определяются расстоянием \(|f_1 - f_2|\). Более точно: площадь изображения = поперечный размер \(\times\) поперечный размер. Обе стороны квадрата перпендикулярны оптической оси, значит нужно учитывать, что одна пара сторон на \(d = 90\), а другая на \(d = 110\). Среднее значение площади: \(S \approx 2344\) см\(^2\).

Ответ: 2344 см² (допускается ±50)

Задача 2 Мнимое изображение

▼

Собирающая линза с фокусным расстоянием \(F = 8\) см создаёт мнимое увеличенное изображение предмета с увеличением \(\Gamma = 4\). На каком расстоянии \(d\) от линзы находится предмет? Ответ в см.

Задача 3 Дифракционная решётка

▼

Дифракционная решётка с периодом \(d = 10\) мкм освещается белым светом. На экране, расположенном на расстоянии \(L = 50\) см от решётки, наблюдается спектр первого порядка. Длина волны фиолетового света \(\lambda_{\text{ф}} = 400\) нм, красного \(\lambda_{\text{кр}} = 760\) нм. Найдите ширину спектра первого порядка (в см).

Задача 4 Полное внутреннее отражение

▼

Точечный источник света находится на дне водоёма на глубине \(h = 2\) м. Показатель преломления воды \(n = 1{,}33\). Определите радиус светлого круга на поверхности воды (в метрах).

Задача 5 Формула линзы

▼

Предмет высотой \(h = 3\) см расположен на расстоянии \(d = 15\) см от собирающей линзы с фокусным расстоянием \(F = 10\) см. Определите высоту изображения \(H\) (в см).

Задача 6 Система линз

▼

Собирающая линза с \(F_1 = 20\) см и рассеивающая линза с \(F_2 = -10\) см расположены на расстоянии \(L = 30\) см друг от друга. Предмет находится на \(d = 30\) см от первой линзы. Где находится итоговое изображение? Ответ: расстояние от второй линзы (в см, отрицательное -- мнимое).

Задача 7 Формула линзы

▼

Предмет расположен на расстоянии \(d = 30\) см от собирающей линзы с фокусным расстоянием \(F = 20\) см. Найдите расстояние от линзы до изображения \(f\) (в см).

Задача 8 Увеличение

▼

Оптическая сила линзы \(D = 5\) дптр. Предмет расположен на расстоянии 30 см от линзы. Найдите увеличение линзы.

Задача 9 Рассеивающая линза

▼

Рассеивающая линза с фокусным расстоянием \(F = -15\) см. Предмет расположен на расстоянии \(d = 30\) см. Найдите расстояние от линзы до изображения \(f\) (в см).

Задача 10 Мнимое изображение

▼

Предмет расположен на расстоянии \(d = 10\) см от собирающей линзы с фокусным расстоянием \(F = 15\) см. Найдите положение изображения \(f\) (в см). Укажите знак.

Шпаргалка

Все формулы на одной странице

Формула линзы
\(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\)

Оптическая сила
\(D = \frac{1}{F}\) [дптр]

Увеличение
\(\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\)

Закон Снеллиуса
\(n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta\)

Дифракционная решётка
\(d \sin\varphi = m\lambda\)

Полное отражение
\(\sin\alpha_{\text{пр}} = \frac{n_2}{n_1}\)

Показатель преломления
\(n = c/v\)

Ширина спектра
\(\Delta x = \frac{L}{d}(\lambda_{\text{кр}} - \lambda_{\text{ф}})\)

Светлый круг
\(r = \frac{h}{\sqrt{n^2 - 1}}\)

Линзы вплотную
\(D = D_1 + D_2\)

Правило знаков

\(F > 0\)	Собирающая линза
\(F < 0\)	Рассеивающая линза
\(f > 0\)	Действительное изображение
\(f < 0\)	Мнимое изображение
\(d > 0\)	Действительный предмет

Таблица изображений (собирающая линза)

Положение	Изображение
\(d > 2F\)	действительное, перевёрнутое, уменьшенное
\(d = 2F\)	действительное, перевёрнутое, равное
\(F < d < 2F\)	действительное, перевёрнутое, увеличенное
\(d = F\)	в бесконечности
\(d < F\)	мнимое, прямое, увеличенное

3 стандартных луча для построения

Параллельный оси -- через задний фокус
Через центр линзы -- без преломления
Через передний фокус -- параллельно оси

Справочные данные

Скорость света в вакууме	\(c = 3 \times 10^8\) м/с
Показатель преломления воды	\(n = 1{,}33\)
Показатель преломления стекла	\(n \approx 1{,}5\)
Видимый спектр	\(380 - 760\) нм
Фиолетовый свет	\(\lambda \approx 400\) нм
Красный свет	\(\lambda \approx 760\) нм

Алгоритм решения (кратко)

Определить тип линзы и положение предмета
Нарисовать рисунок (2+ луча) = 1 балл!
Записать формулу линзы с правилом знаков
Подставить, решить
Ответ с единицами измерения