О задании 25 -- Электродинамика и оптика

Общая информация

Задание 25 ЕГЭ по физике -- задача высокого уровня сложности, оценивается в 3 балла.

Тематика: электродинамика (электрические цепи, конденсаторы, магнитное поле, электромагнитная индукция, ЭМ колебания) и оптика (геометрическая и волновая).

Средняя решаемость: 14,3%
Разделы кодификатора ФИПИ: 3.1--3.5

Критерии оценивания

Баллы	Критерий
3	Полное правильное решение с обоснованием и верным ответом
2	Верно записаны все необходимые формулы, но допущена ошибка в вычислениях или преобразованиях
1	Записаны только исходные формулы ИЛИ правильный рисунок с ходом лучей
0	Решение не соответствует ни одному из критериев выше

ВАЖНО: Рисунок = 1 балл!

Для задач на оптику: даже если вы не можете решить задачу аналитически, правильный рисунок с построением хода лучей через линзу гарантирует 1 балл.

Для задач на цепи и индукцию: обязательно запишите все физические законы в общем виде -- это даёт 1 балл даже без вычислений.

Электрические цепи

Закон Ома для полной цепи

\(I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}\)

где \(\mathcal{E}\) -- ЭДС источника, \(R\) -- внешнее сопротивление, \(r\) -- внутреннее сопротивление источника.

Напряжение на внешней цепи: \(U = \mathcal{E} - Ir = IR\)

Мощность и соединения

\(P = IU = I^2R = \frac{U^2}{R}\)

Последовательное соединение: \(R = R_1 + R_2\), токи равны, напряжения складываются.

Параллельное соединение: \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\), напряжения равны, токи складываются.

Полная мощность источника: \(P_{\text{полн}} = \mathcal{E} I\). Полезная мощность: \(P_{\text{пол}} = I^2 R\). КПД цепи: \(\eta = \frac{R}{R + r}\).

Пример 1: Полная цепь с ЭДС

Задача: Источник с ЭДС = 12 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом подключён к двум резисторам R₁ = 3 Ом и R₂ = 6 Ом, соединённым параллельно. Найдите ток через источник и мощность, выделяемую на внешней цепи.

Шаг 1: Параллельное соединение: \(R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = 2\) Ом.

Шаг 2: Закон Ома для полной цепи: \(I = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{12}{2 + 1} = 4\) А.

Шаг 3: Мощность: \(P = I^2 R = 16 \cdot 2 = 32\) Вт.

Ответ: I = 4 А, P = 32 Вт

Пример 2: КПД цепи

Задача: При подключении к источнику (ЭДС = 10 В, r = 2 Ом) внешнего сопротивления R = 8 Ом найдите КПД цепи и напряжение на зажимах источника.

Шаг 1: \(I = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{10}{8 + 2} = 1\) А.

Шаг 2: \(U = IR = 1 \cdot 8 = 8\) В.

Шаг 3: \(\eta = \frac{R}{R + r} = \frac{8}{10} = 0{,}8 = 80\%\).

Ответ: U = 8 В, КПД = 80%

Конденсаторы

Энергия и заряд конденсатора

\(C = \frac{q}{U}, \quad W = \frac{CU^2}{2} = \frac{q^2}{2C} = \frac{qU}{2}\)

\(C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}\)

При перераспределении заряда между конденсаторами сохраняется полный заряд, но часть энергии теряется (превращается в тепло).

Пример 1: Перераспределение заряда

Задача: Конденсатор ёмкостью C₁ = 2 мкФ заряжен до напряжения U₀ = 100 В. К нему подключают незаряженный конденсатор C₂ = 3 мкФ. Найдите напряжение после подключения и потерю энергии.

Шаг 1: Начальный заряд: \(q_0 = C_1 U_0 = 2 \times 10^{-6} \cdot 100 = 2 \times 10^{-4}\) Кл.

Шаг 2: После подключения: \(U = \frac{q_0}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-6}} = 40\) В.

Шаг 3: Начальная энергия: \(W_0 = \frac{C_1 U_0^2}{2} = \frac{2 \times 10^{-6} \cdot 10000}{2} = 0{,}01\) Дж.

Шаг 4: Конечная энергия: \(W = \frac{(C_1+C_2) U^2}{2} = \frac{5 \times 10^{-6} \cdot 1600}{2} = 0{,}004\) Дж.

Шаг 5: Потеря: \(\Delta W = 0{,}01 - 0{,}004 = 0{,}006\) Дж = 6 мДж.

Ответ: U = 40 В, потеря энергии = 6 мДж

Пример 2: Конденсатор с диэлектриком

Задача: Плоский конденсатор ёмкостью C = 10 нФ заряжен до U = 200 В и отключён от источника. Пространство между пластинами заполняют диэлектриком с \(\varepsilon = 4\). Найдите новое напряжение и энергию.

Шаг 1: Заряд сохраняется: \(q = CU = 10 \times 10^{-9} \cdot 200 = 2 \times 10^{-6}\) Кл.

Шаг 2: Новая ёмкость: \(C' = \varepsilon C = 4 \cdot 10 = 40\) нФ.

Шаг 3: Новое напряжение: \(U' = \frac{q}{C'} = \frac{2 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-9}} = 50\) В.

Шаг 4: Новая энергия: \(W' = \frac{q^2}{2C'} = \frac{(2 \times 10^{-6})^2}{2 \cdot 40 \times 10^{-9}} = 5 \times 10^{-5}\) Дж = 50 мкДж.

Ответ: U' = 50 В, W' = 50 мкДж

Магнитное поле

Сила Ампера и сила Лоренца

\(F_A = BIl\sin\alpha \quad \text{(сила Ампера)}\)

\(F_Л = qvB\sin\alpha \quad \text{(сила Лоренца)}\)

Сила Ампера действует на проводник с током в магнитном поле. Сила Лоренца -- на движущийся заряд.

Направление определяется по правилу левой руки.

Движение заряда в магнитном поле

Если заряд влетает перпендикулярно полю (\(\alpha = 90°\)), он движется по окружности:

\(R = \frac{mv}{qB}, \quad T = \frac{2\pi m}{qB}\)

Центростремительная сила = сила Лоренца: \(\frac{mv^2}{R} = qvB\).

Пример 1: Радиус движения заряда

Задача: Протон (m = 1,67×10⁻²⁷ кг, q = 1,6×10⁻¹⁹ Кл) с кинетической энергией E = 1 МэВ влетает перпендикулярно в магнитное поле B = 0,1 Тл. Найдите радиус траектории (в см).

Шаг 1: \(E = \frac{mv^2}{2} \Rightarrow mv = \sqrt{2mE}\).

Шаг 2: \(E = 1\) МэВ \(= 1{,}6 \times 10^{-13}\) Дж.

Шаг 3: \(mv = \sqrt{2 \cdot 1{,}67 \times 10^{-27} \cdot 1{,}6 \times 10^{-13}} = \sqrt{5{,}34 \times 10^{-40}} = 2{,}31 \times 10^{-20}\) кг·м/с.

Шаг 4: \(R = \frac{mv}{qB} = \frac{2{,}31 \times 10^{-20}}{1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 0{,}1} = \frac{2{,}31 \times 10^{-20}}{1{,}6 \times 10^{-20}} \approx 1{,}44\) м \(\approx 144\) см.

Ответ: R ≈ 144 см

Пример 2: Сила Ампера

Задача: Прямой проводник длиной l = 0,5 м с током I = 10 А помещён в однородное магнитное поле B = 0,2 Тл перпендикулярно линиям поля. Найдите силу Ампера.

Шаг 1: \(F = BIl\sin 90° = BIl = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 1\) Н.

Ответ: F = 1 Н

ЭДС индукции

Закон Фарадея

\(\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}, \quad \Phi = BS\cos\alpha\)

ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока. Знак определяется правилом Ленца.

ЭДС в движущемся проводнике

\(\mathcal{E} = Blv\)

Если проводник длиной l движется со скоростью v перпендикулярно полю B.

При замкнутой цепи сопротивлением R: \(I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{Blv}{R}\).

Пример 1: Рамка в магнитном поле

Задача: Квадратная рамка со стороной a = 10 см помещена в однородное магнитное поле B = 0,5 Тл перпендикулярно линиям поля. За время Δt = 0,1 с поле уменьшилось до нуля. Найдите среднюю ЭДС индукции.

Шаг 1: \(\Delta\Phi = BS - 0 = 0{,}5 \cdot (0{,}1)^2 = 0{,}005\) Вб.

Шаг 2: \(|\mathcal{E}| = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{0{,}005}{0{,}1} = 0{,}05\) В = 50 мВ.

Ответ: ЭДС = 50 мВ

Пример 2: Проводник на рельсах

Задача: Проводник длиной l = 0,4 м скользит по рельсам со скоростью v = 5 м/с в поле B = 0,3 Тл. Сопротивление цепи R = 2 Ом. Найдите ток в цепи и силу, необходимую для равномерного движения.

Шаг 1: \(\mathcal{E} = Blv = 0{,}3 \cdot 0{,}4 \cdot 5 = 0{,}6\) В.

Шаг 2: \(I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0{,}6}{2} = 0{,}3\) А.

Шаг 3: Сила для равномерного движения = сила Ампера: \(F = BIl = 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}036\) Н.

Ответ: I = 0,3 А, F = 0,036 Н

Электромагнитные колебания

LC контур

\(T = 2\pi\sqrt{LC}, \quad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

\(W = \frac{CU^2}{2} = \frac{LI^2}{2} = \frac{q^2}{2C} = \text{const}\)

Полная энергия идеального контура сохраняется и переходит из электрической формы (конденсатор) в магнитную (катушка).

Связь максимальных значений

\(I_{\max} = q_{\max} \omega = \frac{q_{\max}}{\sqrt{LC}}\)

Максимальный ток в контуре наступает, когда конденсатор полностью разряжен.

Пример 1: Максимальный ток в LC контуре

Задача: Конденсатор ёмкостью C = 4 мкФ заряжен до напряжения U₀ = 100 В и подключён к катушке индуктивностью L = 0,01 Гн. Найдите максимальный ток в контуре.

Шаг 1: Из сохранения энергии: \(\frac{CU_0^2}{2} = \frac{LI_{\max}^2}{2}\).

Шаг 2: \(I_{\max} = U_0\sqrt{\frac{C}{L}} = 100 \cdot \sqrt{\frac{4 \times 10^{-6}}{0{,}01}} = 100 \cdot \sqrt{4 \times 10^{-4}} = 100 \cdot 0{,}02 = 2\) А.

Ответ: I_max = 2 А

Пример 2: Период колебаний

Задача: Колебательный контур имеет индуктивность L = 0,1 Гн и ёмкость C = 10 мкФ. Найдите период и частоту собственных колебаний.

Шаг 1: \(T = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}1 \cdot 10^{-5}} = 2\pi\sqrt{10^{-6}} = 2\pi \cdot 10^{-3} \approx 6{,}28 \times 10^{-3}\) с.

Шаг 2: \(\nu = \frac{1}{T} \approx 159\) Гц.

Ответ: T ≈ 6,28 мс, ν ≈ 159 Гц

Законы отражения и преломления

Закон отражения

Угол падения равен углу отражения. Падающий луч, отражённый луч и нормаль к поверхности лежат в одной плоскости.

\(\alpha = \beta\)

где \(\alpha\) -- угол падения, \(\beta\) -- угол отражения (оба отсчитываются от нормали).

Закон Снеллиуса (закон преломления)

\(n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta\)

где \(n_1, n_2\) -- абсолютные показатели преломления сред, \(\alpha\) -- угол падения, \(\beta\) -- угол преломления.

Абсолютный показатель преломления

\(n = \frac{c}{v}\)

где \(c\) -- скорость света в вакууме, \(v\) -- скорость света в среде.

При переходе из одной среды в другую

Частота не меняется: \(\nu = \text{const}\)
Скорость в среде: \(v = \frac{c}{n}\)
Длина волны в среде: \(\lambda_{\text{среды}} = \frac{\lambda_{\text{вак}}}{n}\)

Запомните: при переходе в более плотную среду (\(n\) больше) скорость и длина волны уменьшаются, частота остаётся прежней.

Линзы и формула тонкой линзы

Формула тонкой линзы

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\)

где:

\(F\) -- фокусное расстояние линзы
\(d\) -- расстояние от предмета до линзы
\(f\) -- расстояние от линзы до изображения

Оптическая сила

\(D = \frac{1}{F} \quad [\text{дптр}]\)

Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). 1 дптр = 1/м.

Увеличение линзы

\(\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\)

где \(H\) -- размер изображения, \(h\) -- размер предмета.

Правило знаков (КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО!)

Правильное применение знаков -- ключ к решению задач на линзы:

Величина	Знак	Смысл
\(d > 0\)	+	Действительный предмет (слева от линзы)
\(f > 0\)	+	Действительное изображение (справа от линзы)
\(f < 0\)	-	Мнимое изображение (слева от линзы, по ту же сторону, что и предмет)
\(F > 0\)	+	Собирающая линза
\(F < 0\)	-	Рассеивающая линза

Для мнимого изображения:

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|}\)

Эта формула получается подстановкой \(f < 0\) в основную формулу линзы.

Таблица изображений в собирающей линзе

Положение предмета	Характеристика изображения
\(d > 2F\)	Действительное, перевёрнутое, уменьшенное
\(d = 2F\)	Действительное, перевёрнутое, равное по размеру
\(F < d < 2F\)	Действительное, перевёрнутое, увеличенное
\(d = F\)	Изображение на бесконечности (в \(\infty\))
\(d < F\)	Мнимое, прямое, увеличенное

Рассеивающая линза всегда даёт мнимое, прямое, уменьшенное изображение.

Построение изображений в линзах

Три стандартных луча

Для построения изображения точки в линзе достаточно провести два из трёх стандартных лучей:

1

Луч, параллельный главной оптической оси. После преломления проходит через задний фокус (собирающая линза) или его продолжение идёт из переднего фокуса (рассеивающая линза).

2

Луч, проходящий через оптический центр линзы. Проходит без преломления (не меняет направления).

3

Луч, проходящий через передний фокус (или направленный на передний фокус для рассеивающей линзы). После преломления идёт параллельно главной оптической оси.

Интерактивный симулятор тонкой линзы

Перетаскивайте предмет (оранжевая стрелка) влево и вправо, чтобы увидеть, как меняется изображение. Три характерных луча строятся автоматически.

Фокусное расстояние F: 120 px Рассеивающая линза

Дифракционная решётка

Основная формула

\(d \cdot \sin\varphi = m\lambda\)

где:

\(d\) -- период решётки (расстояние между соседними щелями)
\(\varphi\) -- угол дифракции
\(m\) -- порядок максимума (\(m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\))
\(\lambda\) -- длина волны

Для малых углов

\(\sin\varphi \approx \tan\varphi = \frac{x}{L}\)

где \(x\) -- расстояние от центрального максимума до максимума \(m\)-го порядка на экране, \(L\) -- расстояние от решётки до экрана.

Тогда: \(d \cdot \frac{x}{L} = m\lambda\), откуда \(x = \frac{m\lambda L}{d}\).

Ширина спектра

\(\Delta x = \frac{L}{d}(\lambda_{\text{кр}} - \lambda_{\text{ф}})\)

Ширина спектра первого порядка определяется разностью положений красного и фиолетового максимумов.

Полное внутреннее отражение

Предельный угол полного внутреннего отражения

\(\sin\alpha_{\text{пр}} = \frac{n_2}{n_1} \quad (n_1 > n_2)\)

Полное внутреннее отражение возникает при переходе света из более плотной среды в менее плотную.

Светлый круг на поверхности воды

Точечный источник на глубине \(h\):

\(r = \frac{h}{\sqrt{n^2 - 1}}\)

Системы линз

Линзы, расположенные вплотную

\(D = D_1 + D_2\)

Оптические силы складываются. Эквивалентное фокусное расстояние: \(\frac{1}{F} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2}\).

Линзы на расстоянии \(L\) друг от друга

Алгоритм решения:

Найти изображение предмета в первой линзе.
Изображение первой линзы становится предметом для второй линзы.
Расстояние от этого "предмета" до второй линзы: \(d_2 = L - f_1\).
Если \(d_2 > 0\) -- предмет действительный. Если \(d_2 < 0\) -- предмет мнимый.
Найти изображение во второй линзе.

Алгоритм решения задач электродинамики и оптики

Пошаговый алгоритм

Следуйте этим шагам при решении задания 25

1

Определить тему

Цепь? Конденсатор? Магнитное поле? Индукция? LC-контур? Оптика?

↓

2

Записать законы

Закон Ома, формулы мощности, сила Лоренца, закон Фарадея, формула линзы...

↓

3

Нарисовать схему/рисунок

Для оптики -- 2+ луча (= 1 балл!). Для цепей -- схема.

↓

4

Вывести формулу и подставить

Получите итоговую формулу в общем виде, затем числа

↓

5

Ответ с единицами

Проверить размерность и разумность результата

Типичные ошибки

Ошибки в электродинамике

1. Забыли внутреннее сопротивление источника

I = ЭДС / R (без учёта r)

I = ЭДС / (R + r)

2. Путаница направлений сил Ампера и Лоренца

Используйте правило левой руки. Четыре пальца -- по направлению тока (для F_A) или скорости положительного заряда (для F_Л).

3. Забыли правило Ленца при определении направления индукционного тока

Индукционный ток направлен так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока.

Ошибки в оптике

4. Неправильные знаки при мнимом изображении

Если предмет ближе фокуса собирающей линзы (\(d < F\)), изображение мнимое (\(f < 0\)).

Формула принимает вид: \(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|}\)

5. Нет единиц измерения в ответе

Ответ без единиц измерения может привести к потере балла.

6. Ширина спектра -- разность, а не одно положение

\(\Delta x = \frac{mL\lambda_{\text{кр}}}{d}\)

\(\Delta x = \frac{mL}{d}(\lambda_{\text{кр}} - \lambda_{\text{ф}})\)

Банк заданий

Решено: 0 / 15

Задача 1 Демо 2026

▼

Квадратный предмет со стороной \(a = 20\) см расположен перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой \(D = 2\) дптр. Расстояние от предмета до линзы \(d_1 = 90\) см. Найдите площадь изображения (в см\(^2\)).

Задача 2Мнимое изображение

▼

Собирающая линза с \(F = 8\) см создаёт мнимое увеличенное изображение с \(\Gamma = 4\). Найдите \(d\) (в см).

Задача 3Дифракционная решётка

▼

Дифракционная решётка с периодом \(d = 10\) мкм. Экран на \(L = 50\) см. \(\lambda_{\text{ф}} = 400\) нм, \(\lambda_{\text{кр}} = 760\) нм. Ширина спектра первого порядка (в см).

Задача 4Полное внутреннее отражение

▼

Источник на глубине \(h = 2\) м, \(n = 1{,}33\). Радиус светлого круга (в м).

Задача 5Формула линзы

▼

Предмет \(h = 3\) см на \(d = 15\) см от линзы с \(F = 10\) см. Высота изображения (в см).

Задача 6Система линз

▼

Собирающая \(F_1 = 20\) см и рассеивающая \(F_2 = -10\) см на \(L = 30\) см. Предмет на \(d = 30\) см от первой. Где итоговое изображение? (в см, "-" -- мнимое).

Задача 7Формула линзы

▼

\(d = 30\) см, \(F = 20\) см. Найдите \(f\) (в см).

Задача 8Рассеивающая линза

▼

\(F = -15\) см, \(d = 30\) см. Найдите \(f\) (в см).

Задача 9Мнимое изображение

▼

\(d = 10\) см, \(F = 15\) см. Найдите \(f\) (в см, с учётом знака).

Задача 10Увеличение

▼

\(D = 5\) дптр, \(d = 30\) см. Найдите увеличение.

Задача 11Полная цепь

▼

Источник с ЭДС \(\mathcal{E} = 24\) В и внутренним сопротивлением \(r = 1\) Ом подключён к внешней цепи с сопротивлением \(R = 5\) Ом. Найдите мощность, выделяемую на внешней цепи (в Вт).

Задача 12Конденсатор

▼

Конденсатор \(C_1 = 6\) мкФ заряжен до \(U_0 = 300\) В. К нему подключают незаряженный \(C_2 = 3\) мкФ. Найдите напряжение после подключения (в В).

Задача 13Сила Лоренца

▼

Электрон (\(m = 9{,}1 \times 10^{-31}\) кг, \(e = 1{,}6 \times 10^{-19}\) Кл) движется со скоростью \(v = 2 \times 10^7\) м/с перпендикулярно магнитному полю \(B = 0{,}01\) Тл. Найдите радиус траектории (в мм).

Задача 14ЭДС индукции

▼

Проводник длиной \(l = 0{,}5\) м движется со скоростью \(v = 4\) м/с перпендикулярно полю \(B = 0{,}2\) Тл. Сопротивление цепи \(R = 0{,}5\) Ом. Найдите ток в цепи (в А).

Задача 15LC контур

▼

В LC-контуре \(L = 0{,}04\) Гн, \(C = 1\) мкФ. Максимальное напряжение на конденсаторе \(U_0 = 50\) В. Найдите максимальный ток в контуре (в А).

Шпаргалка

Электрические цепи

Закон Ома (полная)
\(I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}\)

Мощность
\(P = I^2R = \frac{U^2}{R}\)

КПД цепи
\(\eta = \frac{R}{R + r}\)

Конденсатор
\(W = \frac{CU^2}{2}\)

Магнитное поле и индукция

Сила Ампера
\(F = BIl\sin\alpha\)

Сила Лоренца
\(F = qvB\sin\alpha\)

Радиус
\(R = \frac{mv}{qB}\)

Закон Фарадея
\(\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}\)

Проводник
\(\mathcal{E} = Blv\)

LC контур
\(T = 2\pi\sqrt{LC}\)

Оптика

Формула линзы
\(\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\)

Оптическая сила
\(D = \frac{1}{F}\) [дптр]

Увеличение
\(\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\)

Закон Снеллиуса
\(n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta\)

Дифракционная решётка
\(d \sin\varphi = m\lambda\)

Полное отражение
\(\sin\alpha_{\text{пр}} = \frac{n_2}{n_1}\)